Question

5．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ²=$\frac{15}{1+2co{s}^{2}θ}$，直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
（I）写出直线l的参数方程与极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为A、B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （I）直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），由直角坐标方程可得极坐标方程．
（II）曲线C：ρ²=$\frac{15}{1+2co{s}^{2}θ}$，化为：ρ²+2ρ²cos²θ=15，利用互化公式可得直角坐标方程，把直线l的参数方程代入上述方程，利用参数的意义即可得出．

解答 解：（I）直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），

由直角坐标方程可得极坐标方程：$θ=\frac{π}{6}$（ρ∈R）．
（II）曲线C：ρ²=$\frac{15}{1+2co{s}^{2}θ}$，
化为：ρ²+2ρ²cos²θ=15，化为直角坐标方程：3x²+y²=15．
把直线l的参数方程代入上述方程可得：$3×\frac{3}{4}{t}^{2}+\frac{1}{4}{t}^{2}$=15，
可得：t²=6，解得t=$±\sqrt{6}$．
∴|AB|=$2\sqrt{6}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标与直角坐标的互化、直线与椭圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．