Question

13．在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=1
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）曲线C₁和曲线C₂相交于点M，N，求通过M，N两点的圆中面积最小的圆的标准方程．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1即可得出普通方程．曲线C₂的极坐标方程是$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=1，利用和差公式展开可得：$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ-cosθ）=1，即可得出直角坐标方程．
（2）通过M，N两点的圆中面积最小的圆是以|MN|为直径的圆的方程．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线方程与圆的方程联立可得：7x²+8x-8=0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．

解答 解：（I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），可得$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
曲线C₂的极坐标方程是$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=1，展开可得：$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ-cosθ）=1，可得直角坐标方程：y-x=1．
（2）通过M，N两点的圆中面积最小的圆是以|MN|为直径的圆的方程．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-x=1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：7x²+8x-8=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$．
∴|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[（-\frac{8}{7}）^{2}-4×（-\frac{8}{7}）]}$=$\frac{8\sqrt{3}}{7}$．
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$-\frac{4}{7}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{2}$=$\frac{3}{7}$，
∴圆心$（-\frac{4}{7}，\frac{3}{7}）$，
∴通过M，N两点的圆中面积最小的圆的标准方程为：$（x+\frac{4}{7}）^{2}$+$（y-\frac{3}{7}）^{2}$=$\frac{192}{49}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为普通方程、直线与椭圆相交弦长问题、中点坐标公式、圆的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．