Question

10．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知M为曲线C₁：ρ=4sinθ上任意一点，$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，点P的轨迹记为C₂．
（1）求曲线C₂的极坐标方程；
（2）直线θ=$\frac{π}{3}$与C₁交于点A，直线θ=$\frac{2π}{3}$与C₂交于点B，点A、B均异于O，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁：ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．设P（x，y），由$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，可得M$（\frac{1}{2}x，\frac{1}{2}y）$，代入上述方程可得直角坐标方程，利用互化公式即可得出极坐标方程．
（2）利用极坐标方程、余弦定理即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁：ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，
化为直角坐标方程：x²+y²=4y．
设P（x，y），
∵$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，
∴M$（\frac{1}{2}x，\frac{1}{2}y）$，代入上述方程可得：$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{1}{4}{y}^{2}$=2y，化为x²+y²-8y=0．
可得极坐标方程：ρ²-8ρsinθ，即ρ=8sinθ．
（2）直线θ=$\frac{π}{3}$代入C₁，可得ρ₁=$4sin\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$，
直线θ=$\frac{2π}{3}$代入C₂可得：ρ₂=8$sin\frac{2π}{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴∠AOB=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$．
∴|AB|²=$（2\sqrt{3}）^{2}$+$（4\sqrt{3}）^{2}$-×$2\sqrt{3}×4\sqrt{3}$cos$\frac{π}{3}$=48．
∴|AB|=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标的互化、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．