Question

15．已知圆C：（x-2$\sqrt{2}$）²+（y-1）²=1和两点A（-t，0）、B（t，0）（t＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则t的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 圆C：（x-2$\sqrt{2}$）²+（y-1）²=1的圆心C（2$\sqrt{2}$，1），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则$\overrightarrow{AP}$=（a+t，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-t，b），由已知得t²=a²+b²=|OP|²，t的最小值即为|OP|的最小值．

解答 解：圆C：（x-2$\sqrt{2}$）²+（y-1）²=1的圆心C（2$\sqrt{2}$，1），半径r=1，
设P（a，b）在圆C上，则$\overrightarrow{AP}$=（a+t，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-t，b），
∵∠APB=90°，
∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BP}$，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（a+t）（a-t）+b²=0，
∴t²=a²+b²=|OP|²，
∴t的最小值即为|OP|的最小值，等于|OC|-r=3-1=2
故选：C．

点评 本题考察圆与直线方程的综合应用以及两点间距离公式，解决此类问题，注意采用数形结合思想，可较快得到答案．