Question

直线与双曲线x²-4y²=4交于A、B两点，若线段AB的中点坐标为（8，1），则直线的方程为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线的一般式方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出A，B的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知x₁+x₂和y₁+y₂的值，进而求得直线AB的斜率，根据点斜式求得直线的方程．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=16，y₁+y₂=2，
∵x₁²-4y₁²=4，x₂²-4y₂²=4，
∴16（x₁-x₂）-8（y₁-y₂）=0，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=2，
∴直线的方程为y-1=2（x-8），即2x-y-15=0．
故答案为：2x-y-15=0．

点评：涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．