Question

若存在不为零的常数T，使得函数y=f（x）对定义域内的任意x均有f（x+T）=f（x），则称函数y=f（x）为周期函数，其中常数T就是函数的一个周期．
（1）证明：若存在不为零的常数a使得函数y=f（x）对定义域内的任一x均有f（x+a）=-f（x），则此函数是周期函数；
（2）若定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（x+1）=-f（x），试探究此函数在区间[-2008，2008]内的零点的最少个数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由于存在不为零的常数a使得函数y=f（x）对定义域内的任一x均有f（x+a）=-f（x），可得f（x+2a）=-f（x+a）=f（x），即可得出此函数是周期．
（2）由于定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），于是函数f（x）是以2为周期的周期函数．由于f（0）=0，可得f（0）=f（2）=f（4）=…=f（2008）=f（-2）=f（-4）=…=f（-2008），即可得出此函数在区间[-2008，2008]内的零点的最少个数．

解答： （1）证明：∵存在不为零的常数a使得函数y=f（x）对定义域内的任一x均有f（x+a）=-f（x），
∴f（x+2a）=-f（x+a）=f（x），
∴此函数是周期为2a的周期函数．
（2）解：∵定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴函数f（x）是以2为周期的周期函数．
∵f（0）=0，
∴f（0）=f（2）=f（4）=…=f（2008）=f（-2）=f（-4）=…=f（-2008），
∴此函数在区间[-2008，2008]内的零点的最少个数为1004×2+1=2009．
∴此函数在区间[-2008，2008]内的零点的最少个数为2009．

点评：本题考查了函数奇偶性与周期性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．