题目内容
过点P（0，3）作两条相互垂直的直线分别交圆x2+y2=16于A、C和B、D两点，则四边形ABCD面积的最大值为 ．
考点：直线与圆的位置关系
专题：直线与圆
分析：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，由此表示出|AC|、|BD|，利用基本不等式求出四边形ABCD面积的最大值．
解答：
解：∵圆O：x2+y2=16，
∴圆心O坐标（0，0），半径r=4，
设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，
∵P（0，3），
则d12+d22=OM2=02+32=9，
∴|AC|=2
=2
，|BD|=2
=2
，
∴四边形ABCD的面积为
S=
|AC|•|BD|
=2
•
≤（16-d12）+（16-d22）=32-9=23，
当且仅当d12 =d22时取等号，
∴四边形ABCD面积的最大值为23．
故答案为：23．
∴圆心O坐标（0，0），半径r=4，
设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，
∵P（0，3），
则d12+d22=OM2=02+32=9，
∴|AC|=2
| r2-d12 |
| 16-d12 |
| r2-d22 |
| 16-d22 |
∴四边形ABCD的面积为
S=
| 1 |
| 2 |
=2
| 16-d12 |
| 16-d22 |
当且仅当d12 =d22时取等号，
∴四边形ABCD面积的最大值为23．
故答案为：23．
点评：本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了对角线互相垂直的四边形面积的求法以及基本不等式的应用问题，是中档题目．
练习册系列答案
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| A、（-∞，-1） |
| B、（-∞，1） |
| C、（-1，+∞） |
| D、（1，+∞） |