Question

12．已知函数f（x）=1+$\frac{4}{x}$，g（x）=log₂x；
设函数h（x）=g（x）-f（x）求函数h（x）在区间[2，4]上的值域；
定义min{p，q}表示p，q中较小者，设函数H（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）
①求函数H（x）的最大值；
②若函数y=H（x）-k有两个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）判断h（x）在区间[2，4]上单调递增，计算即可得到所求值域；
（2）①求出函数H（x）=min{f（x），g（x）}的分段函数，讨论单调性，可得最大值；
②若函数y=H（x）-k有两个零点等价于方程H（x）=k有两个实根；作出函数H（x）的大致图象，即可得到所求k的范围．

解答 解：（1）因为函数h（x）=g（x）-f（x）=log₂x-1-$\frac{4}{x}$
在区间[2，4]上单调递增，
所以函数h（x）的值域为[-2，0]；-----------（4分）
（2）①函数H（x）=min{f（x），g（x）}=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，0＜x≤4}\\{1+\frac{4}{x}，x＞4}\end{array}\right.$，
显然，函数H（x）在区间（0，4]上单调递增，在区间（4，+∞）上单调递减，
所以，函数H（x）的最大值为H（4）=2-------------（8分）
②若函数y=H（x）-k有两个零点等价于方程H（x）=k有两个实根；
作出函数H（x）的大致图象，可知k的取值范围是1＜k＜2-----------------（12分）

点评 本题考查函数的值域及最值的求法，注意运用函数的单调性和数形结合思想方法，属于中档题．