Question

9．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，已知A≠$\frac{π}{2}$，且3sinAcosB+$\frac{1}{2}$bsin2A=3sinC．
（I）求a的值；
（Ⅱ）若A=$\frac{2π}{3}$，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用和角的正切公式，结合正弦定理求a的值；
（Ⅱ）若A=$\frac{2π}{3}$，b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，△ABC周长=3+2$\sqrt{3}$（sinB+sinC）=3+2$\sqrt{3}$[sin（$\frac{π}{3}$-C）+sinC]=3+2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$+C），即可求△ABC周长的最大值．

解答 解：（I）∵3sinAcosB+$\frac{1}{2}$bsin2A=3sinC，
∴3sinAcosB+$\frac{1}{2}$bsin2A=3sinAcosB+3cosAsinB，
∴bsinAcosA=3cosAsinB，
∴ba=3b，
∴a=3；
（Ⅱ）由正弦定理可得$\frac{3}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC
∴△ABC周长=3+2$\sqrt{3}$（sinB+sinC）=3+2$\sqrt{3}$[sin（$\frac{π}{3}$-C）+sinC]=3+2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$+C）
∵0＜C＜$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$+C＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（$\frac{π}{3}$+C）≤1，
∴△ABC周长的最大值为3+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理，和角的正切公式，辅助角公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．