Question

18．已知函数f（x）=|x+e^t|+|x-e^-t|（t∈R）．
（1）当x、t都是变量时，求f（x）的最小值；
（2）若f（1）＜4，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先根据绝对值三角不等式得，|x+e^t|+|x-e^-t|≥e^t+e^-t，再由基本不等式最最值；
（2）先换元，再采用“零点分段法”解绝对值不等式，最后求出t的取值范围．

解答 解：（1）由绝对值三角不等式得，
|x+e^t|+|x-e^-t|≥|e^t-（-e^-t）|=e^t+e^-t，
再根据基本不等式得，
e^t+e^-t≥2$\sqrt{{e}^{t}•{e}^{-t}}$=2，当且仅当t=0时，取“=”，
所以，函数f（x）的最小值为2；
（2）因为f（1）＜4，所以|1+e^t|+|1-e^-t|＜4，
设，m=e^t，则e^-t=$\frac{1}{m}$，且m＞0，
原不等式可化为：|m+1|+|$\frac{1}{m}$-1|＜4，
①当m≥1时，m+1+1-$\frac{1}{m}$＜4，即m-$\frac{1}{m}$-2＜0，
解得，1≤m＜1+$\sqrt{2}$；
②当0＜m＜1时，m+1+$\frac{1}{m}$-1＜4，即m+$\frac{1}{m}$-4＜0，
解得，2-$\sqrt{3}$＜m＜1，
综合以上讨论得，m∈（2-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{2}$），
所以，t∈（ln（2-$\sqrt{3}$），ln（1+$\sqrt{2}$）），
故实数t的取值范围为：（ln（2-$\sqrt{3}$），ln（1+$\sqrt{2}$））．

点评 本题主要考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的应用，涉及基本不等式求最值，换元法和分类讨论思想，属于中档题．