Question

在圆x²+y²=4上有一定点A（2，0）和两个动点B、C，使∠BAC=60°恒成立，则三角形的重心H的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：由∠BAC=60°恒成立，可知弦AB到圆心的距离是定值r=1，因此BC中点T的轨迹方程是x²+y²=1，再结合重心的性质，AG=

2

3

AT，则G的轨迹方程可求．

解答： 解：因为圆周角∠BAC=60°恒成立，则BC所对的圆心角为120°，
结合垂径定理的性质，可知弦心距（即弦的中点T到圆心的距离）为Rcos60°=2×

1

2

=1，
故T的轨迹方程为x²+y²=1，
又G是重心，所以AG=

2

3

AT，设T坐标是（a，b），G（x，y）
则有

x-2= 2 3 (a-2) y= 2 3 b

，即

a= 3 2 x-1 b= 3 2 y

，（1）又T（a，b）满足a²+b²=1，
将（1）代入得(x-

2

3

)2+y2=

4

9

．
所以所求轨迹方程为(x-

2

3

)2+y2=

4

9

．
故答案为：(x-

2

3

)2+y2=

4

9

．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，一般是先重点分析所求点或与之相关联的点满足的几何性质，如本题是重心G，而与之相联系的边的中点T根据已知容易求出轨迹方程，由此使问题找到了切入点．