Question

已知函数f（x）=x|x-2|
（1）在给出的坐标系中作出y=f（x）的图象，并写出f（x）的单调区间
（2）若集合{x|f（x）=a}恰有三个元素，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）的解析式，作出f（x）的图象如图所示：由图象可得，函数的单调区间．
（2）由题意可得y=f（x）的图象和直线y=a有3个交点，由图象观察知a的取值范围．

解答： 解：（1）根据函数f（x）=x|x-2|=

x(x-2)，x≥2 x(2-x)，x＜2

，可得f（x）的图象如图所示：
由图象可得，函数的单调增区间为（-∞，1]及（2，+∞），单调减区间为（1，2]．
（2）集合{x|f（x）=a}恰有三个元素，即y=f（x）的图象和直线y=a有3个交点，
由图象观察知a的取值范围是0＜a＜1．

点评：本题主要考查由函数的解析式作函数的图象，函数的单调性，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．