题目内容

存在实数x使不等式
7x-7
+
10-2x
≥|m+1|成立，则实数m的取值范围是
 
．
考点：特称命题
专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析：本题可先求出左边的式子的最小值，再使得右边小于左边的最小值，解关于m的不等式，得到 m的取值范围，即本题答案．
解答： 解：记f（x）=
7x-7
+
10-2x
，
∵存在实数x使不等式
7x-7
+
10-2x
≥|m+1|，
∴|m+1|≤[f（x）]max．
∵(
x-1
)2+(
5-x
)2=4，
∴可设
x-1
=2cosα，
5-x
=2sinα，α∈[0，
π
2
]，
∴f（x）=
7
x-1
+
2
5-x
=2（
7
cosα+
2
sinα）=6(
7
3
cosα+
2
3
sinα)=6sin（α+θ），
其中sinθ=
7
3
，cosθ=
2
3
，θ∈(0，
π
2
)．
∵α∈[0，
π
2
]，
∴θ≤α+θ≤
π
2
+θ，
∴sin（α+θ）≤1，6sin（α+θ）≤6．
即f（x）≤6，[f（x）]max=6．
∴|m+1|≤6，
∴-6≤m+1≤6，
∴-7≤m≤5．
故答案为：[-7，5]．
点评：本题考查的是存在量词和能成立问题上，本题有一定的思维难度，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
求函数f（x）=x2-2x+3分别在区间[-1，0]，[2，3]，[0，3]，（-∞，0]，[2，+∞]，（-1，0]，（-1，0），（0，3）上的值域．
下列对应关系：
①A={1，4，9}，B={-3，-2，-1，1，2，3}，f：x→x的平方根；
②A=R，B=R，f：x→x的倒数；
③A=R，B=R，f：x→x2-2；
④A={-1，0，1}，B={-1，0，1}，f：A中的数平方．
其中是A到B的映射的是
 
．
化简：
sin2x+2sin2x
1+tanx
．
设f（x）=x2+ax+3-a，x∈[-2，2]，
（1）求f（x）在x∈[-2，2]上的最小值g（a）；
（2）求f（x）在x∈[-2，2]上的最大值h（a）；
（3）x∈[-2，2]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．
函数y=f（x）的图象如图所示，那么，f（x）的定义域是
 
；值域是
 
．
首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4=（　　）
A、32B、31C、16D、15
在圆x2+y2=4上有一定点A（2，0）和两个动点B、C，使∠BAC=60°恒成立，则三角形的重心H的轨迹方程为
 
．
已知a，b是不相等的正数，且a2-a+b2-b+ab=0，则a+b的取值范围是（　　）
A、（0，
4
3
）
B、（1，
4
3
）
C、（0，
3
2
）
D、（1，
3
3
）

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