Question

已知抛物线方程为y²=2px（p＞0），过焦点F的直线l与抛物线交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AA₁、BB₁垂直于准线，垂足分别为A₁、B₁，AB的中垂线交x轴于点R．求证：
（1）x₁x₂=

p2

4

，y1y2=-p2；         
（2）通径长为2p，且通径是最短的焦点弦；
（3）以AB为直径的圆与准线相切；    
（4）∠A₁FB₁=90°；
（5）

1

|AF|

+

1

|BF|

=

2

p

；              
（6）|FR|=

|AB|

2

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设直线方程为x=my+

p

2

，代入y²=2px，可得y²-2mpy+p²=0，利用韦达定理，x₁•x₂=

y12

2p

•

y22

2p

=

p2

4

，可得结论；
（2）根据通径的概念，可得结论；
（3）PQ的中点是M且到准线的距离是d．设P到准线的距离d₁=|PF|，Q到准线的距离d₂=|QF|．结合中位线的定义与抛物线的定义可得：

|AF|+|BF|

2

=

|AB|

2

=半径，进而得到答案．
（4）由抛物线的定义及内错角相等，可得∠AFA₁=∠A₁FK，同理可证∠BFB₁=∠B₁FK，由∠AFA₁+∠A₁FK+∠BFB₁+∠B₁FK=180°，可得答案．
（5）AB倾斜角为α，则

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1-cosα

p

+

1+cosα

p

=

2

p

；
（6）设A₁B₁的中点为O₁，连接O₁F，证明|FR|=

|AB|

2

，只要证明O₁F⊥AB．

解答： 解：（1）设直线方程为x=my+

p

2

，代入y²=2px，可得y²-2mpy+p²=0，
∴y₁y₂=-p²，x₁•x₂=

y12

2p

•

y22

2p

=

p2

4

；
（2）根据通径的概念，令x=

p

2

，可得y=±p，∴通径长为2p，且通径是最短的焦点弦；
（3）由于过焦点的弦为AB，AB的中点是M，M到准线的距离是d．
而A到准线的距离d₁=|AF|，Q到准线的距离d₂=|BF|．
又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=

|AF|+|BF|

2

，
由抛物线的定义可得：

|AF|+|BF|

2

=

|AB|

2

，等于半径．
所以圆心M到准线的距离等于半径，所以圆与准线是相切．
（4）如图：设准线与x轴的交点为K，∵A、B在抛物线的准线上的射影为A₁、B₁，
由抛物线的定义可得，AA₁=AF，∴∠AA₁F=∠AFA₁，又由内错角相等得∠AA₁F=∠A₁FK，∴∠AFA₁=∠A₁FK．
同理可证∠BFB₁=∠B₁ FK．   
由∠AFA₁+∠A₁FK+∠BFB₁+∠B₁FK=180°，
∴∠A₁FK+∠B₁FK=∠A₁FB₁=90°，
（5）AB倾斜角为α，则

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1-cosα

p

+

1+cosα

p

=

2

p

；
（6）设A₁B₁的中点为O₁，连接O₁F，则
因为AB的中垂线交x轴于点R，
所以要证明|FR|=

|AB|

2

，只要证明O₁F⊥AB．O₁（-

p

2

，

y1+y2

2

），F（

p

2

，0），
∴kO1F=-

y1+y2

2p

，
设直线方程为x=my+

p

2

，代入y²=2px，可得y²-2mpy+p²=0，
∴y₁+y₂=2mp，
∴kO1F=-

y1+y2

2p

=-m，
∴O₁F⊥AB，
∴MO₁FR是平行四边形
∴|FR|=MO₁=

|AB|

2

．

点评：本题主要考查抛物线的性质应用，解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及直线与圆的位置关系的判定，属于中档题．