Question

数列{b_n}的前n项和为S_n，S_n=

1

2

n（n+1）b₁，b₇=21，数列{a_n}满足a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=n（n+1）（2n+1）．
（1）求a_n；
（2）T_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）ⁿ⁺¹•a_n，求T_n；
（3）求证：

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意和公式b_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出b_n，同样的方法求出a_nb_n，再求出a_n并验证n=1时成立；
（2）把（1）求出的a_n代入T_n化简后，对n分奇数和偶数讨论，分别求出对应的式子，再分段表示出来；
（3）把（1）求出的a_n代入不等式的左边化简后，把分母缩小并进行裂项并逐项相消后，根据式子的特点和n的取值证明不等式成立．

解答： 解：（1）由题意得，Sn=

1

2

n(n+1)b1，b₇=21，
∴b_n=S_n-S_n-1=

1

2

n(n+1)b1-

1

2

n(n-1)b1=nb₁（n≥2），
∴{b_n}为等差数列，
∵b₇=7b₁=21，∴b₁=3，∴b_n=3n，
由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=n（n+1）（2n+1）可得，
当n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-1）n（2n-1）
两个式子相减得，anbn=6n2(n≥2)，
∴a_n=2n（n≥2），
由于a₁b₁=2×3=6，a₁=2，
∴a_n=2n，
（2）由（1）得，a_n=2n，
Tn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n+1•an，
∴Tn=2-4+6-8+…+(-1)n+1•2n
=2[（1-2）+（3-4）+…+（-1）ⁿ⁺¹•n]
当n为奇数时，T_n=2[(-1)×

n-1

2

+n]=n+1；
当n为偶数时，T_n=2[(-1)×

n

2

]=-n，
∴Tn=

n+1，n为奇数 n，      n为偶数

，
（3）由（1）得，a_n=2n，
则

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+…+

1

a 2 n

=

1

4

(

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

)
＜

1

4

(1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

)
=[1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]
=

1

4

(1+1-

1

n

)=

1

2

-

1

4n

＜

1

2

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，数列前n项和公式与通项公式的关系，利用裂项相消法求数列的前n项和，考查了分类讨论思想，以及放缩法证明不等式成立问题．