Question

4．已知x满足$\sqrt{3}≤{3^x}≤9$．
（1）求 x 的取值范围；
（2）求函数$y=（{log_2}^x-1）（{log_2}^x+3）$的值域．

Answer 1

分析 （1）直接由指数函数的单调性，求得x的取值范围；
（2）由（1）中求得的x的范围，得到log₂x的范围，令t=log₂x换元，再由二次函数的图象和性质求得函数$y=（{log_2}^x-1）（{log_2}^x+3）$的值域．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}≤{3^x}≤9$，
∴${3^{\frac{1}{2}}}≤{3^x}≤{3^2}$，
由于指数函数y=3^x在R上单调递增，
∴$\frac{1}{2}≤x≤2$；
（2）由（1）得$\frac{1}{2}≤x≤2$，
∴-1≤log₂x≤1，
令t=log₂x，则y=（t-1）（t+3）=t²+2t-3，其中t∈[-1，1]，
∵函数y=t²+2t-3开口向上且对称轴为t=-1，
∴函数y=t²+2t-3在t∈[-1，1]上单调递增，
∴y的最大值为f（1）=0，最小值为f（-1）=-4．
∴函数y=（log₂x-1）（log₂x+3）的值域为[-4，0]．

点评 本题考查指数不等式的解法，训练了函数值域的求法，属中档题．