Question

12．已知抛物线C 的顶点在原点，F（$\frac{1}{2}$，0）为抛物线的焦点．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点F 的直线l与动抛物线C 交于 A、B 两点，与圆M：${（x-\frac{3}{2}）^2}+{（y-8）^2}=49$交于D、E两点，且D、E位于线段 AB上，若|AD|=|BE|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可设抛物线的标准方程为：y²=2px（p＞0），则$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$，解得p即可得出．
（2）直线l为x轴时不成立．设直线l的方程为：x=ty+$\frac{1}{2}$，取CD的中点N，连接MN，则MN⊥CD，∵|AC|=|BD|，点N是线段AB的中点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，y₀），与抛物线方程联立化为：y²-2ty-1=0，可得N$（{t}^{2}+\frac{1}{2}，t）$．利用MN⊥AB，即可得出t．

解答 解：（1）由题意可设抛物线的标准方程为：y²=2px（p＞0），则$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$，解得p=2，
∴抛物线的标准方程为：y²=2x．
（2）直线l为x轴时不成立．
设直线l的方程为：x=ty+$\frac{1}{2}$，
取CD的中点N，连接MN，则MN⊥CD，
∵|AC|=|BD|，
∴点N是线段AB的中点，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，y₀），
则${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，${y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{x=ty+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，化为：y²-2ty-1=0，
∴y₁+y₂=2t，y₀=t，x₀=t²+$\frac{1}{2}$，即N$（{t}^{2}+\frac{1}{2}，t）$．
∵MN⊥AB，
∴$\frac{t-8}{{t}^{2}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}$=-t，解得t=2．
∴直线l的方程为2x-4y-1=0．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．