Question

4．已知三棱锥P-ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，$BC=\sqrt{3}$，PA⊥面ABC，PA=2，则此三棱锥的外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}π$
• B． $4\sqrt{3}π$
• C． $\frac{{4\sqrt{2}π}}{3}$
• D． 8π

Answer 1

分析 设△ABC外接圆半径为r，设三棱锥P-ABC球半径为R，由正弦定理，求出r=1，再由勾股定理得R，由此能求出三棱锥的外接球的体积．

解答 解：设△ABC外接圆半径为r，设三棱锥P-ABC球半径为R，设△ABC外心为O
∵三棱锥P-ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=$\sqrt{3}$，PA⊥面ABC，PA=2，
∴由正弦定理，得：2r=2，
解得r=1，即OA=1，
球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1
故球的半径R=$\sqrt{2}$
故三棱锥P-ABC外接球的体积V=$\frac{4}{3}π•（\sqrt{2}）^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
故选：A．

点评 本题考查三棱锥的外接球体积的求法，是中档题，确定球的半径是关键．