Question

13．已知函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞1）是定义在R 上的奇函数．
（1）求k 的值并判断函数 f （x）单调性；
（2）若f（1）=$\frac{3}{2}$，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的性质：f（0）=0，可得k=2；求得f（x）的导数，即可判断f（x）的单调性；
（2）由f（1）=$\frac{3}{2}$，可得a=2，再令t=f（x）=2^x-2^-x，g（x）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，t≥f（1）=$\frac{3}{2}$，讨论对称轴t=m，和区间[$\frac{3}{2}$，+∞）的关系，求得最小值，解方程即可得到m的值．

解答 解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，∴a⁰-（k-1）•a⁰=0，即有k-1=1，
∴k=2；
∴f（x）=a^x-a^-x（a＞1），
又f'（x）=a^xlna+a^-xlna=（a^x+a^-x）lna＞0
∴f（x）在R上单调递增；
（3）∵f（1）=$\frac{3}{2}$，∴a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，
即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去），
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2，
令t=f（x）=2^x-2^-x，
∵x≥1，∴t≥f（1）=$\frac{3}{2}$，
∴g（x）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²，
当m≥$\frac{3}{2}$时，当t=m时，g（x）_min=2-m²=-2，∴m=2；
当m＜$\frac{3}{2}$时，当t=$\frac{3}{2}$时，g（x）_min=$\frac{17}{4}$-3m=-2，解得m=$\frac{25}{12}$＞$\frac{3}{2}$，舍去．
综上可得，m=2．

点评 本题主要考查函数奇偶性的问题，考查单调性的判断，注意运用导数，考查换元法的运用，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．