Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是正方形，DM⊥PC，垂足为M．
（1）求证：BD⊥平面PAC．
（2）求证：平面MBD⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）证明BD垂直于平面PAC中两条相交直线，即可证明BD⊥平面PAC．
（2）证明PC⊥平面DBM，即可证明平面MBD⊥平面PCD．

解答 证明：（1）连结AC，
∵底面ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
（2）由（1）知BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
∴BD⊥PC，
∵DM⊥PC，BD∩DM=D，
∴PC⊥平面DBM，
∵PC?平面PDC，
∴平面MBD⊥平面PCD．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，正确证明线面垂直是关键．