Question

20．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

• A． 6$\sqrt{10}$+3$\sqrt{5}$+15
• B． 6$\sqrt{10}$+3$\sqrt{5}$+14
• C． 6$\sqrt{10}$+3$\sqrt{5}$+15
• D． 4$\sqrt{10}$+3$\sqrt{5}$+15

Answer 1

分析 由三视图知该几何体是四棱锥，由三视图求出几何体的棱长、判断线面的位置关系，由勾股定理、三角形的面积公式求出各个面的面积，加起来求出该几何体的表面积．

解答 解：由三视图可知几何体是四棱锥，
且底面是长6、宽2的矩形，四棱锥的高VE=3，
E是AD的中点，VE⊥平面ABCD，
∴VA=VD=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{10}$，BE=CE=$\sqrt{{6}^{2}+1}$=$\sqrt{37}$，
则VB=VC=$\sqrt{37+9}$=$\sqrt{46}$，
∴VA²+AB²=VB²，则VA⊥AB，
△VBC底边BC边上的高是$\sqrt{46-1}$=$\sqrt{45}$，
∴该几何体的表面积S=$2×6+\frac{1}{2}×2×3+2×\frac{1}{2}×6×\sqrt{10}+\frac{1}{2}×2×\sqrt{45}$
=15+6$\sqrt{10}$+$3\sqrt{5}$，
故选C．

点评 本题考查由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．