Question

8．设f（n）=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tanⁿxdx，（n∈N），证明f（3）+f（5）=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根定积分的计算法则和三角函数的化简即可证明．

解答 证明：∵f（n）=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tanⁿxdx，
∴f（3）+f（5）=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan³xdx+${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan⁵xdx，
=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan³xdx+${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan³x（sec²x-1）dx，
=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan³xdx+${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan³xsec²x dx-${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan³x dx，
=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan³xsec²x dx，
=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$tan³x dtanx，
=$\frac{1}{4}$tan⁴x|${\;}_{0}^{\frac{π}{4}}$，
=$\frac{1}{4}$

点评 本题考查了定积分的计算和三角函数的之间的关系，属于中档题．