Question

5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据几何体的三视图知该几何体是三棱锥，由三视图求出几何体的棱长、并判断出线面的位置关系，由勾股定理、余弦定理、三角形的面积公式求出各个面的面积，即可得几何体的各面中面积最大的面的面积．

解答 解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P-ABC，
直观图如图所示：由图得，PA⊥平面ABC，
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2×2×sin{120^0}=\frac{1}{2}×2×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$，${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}×2×2=2$，$PB=2\sqrt{2}$，$AC=2\sqrt{3}$，
则${S_{△PAC}}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
在△PBC中，$PC=\sqrt{P{A^2}+A{C^2}}=\sqrt{{2^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}=4$，
由余弦定理得：$cos∠PBC=\frac{{{2^2}+{{（2\sqrt{2}）}^2}-{4^2}}}{{2×2×2\sqrt{2}}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
则$sin∠PBC=\frac{{\sqrt{14}}}{4}$，所以${S_{△PAC}}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{14}}}{4}=\sqrt{7}$，
所以三棱锥中，面积最大的面是△PAC，其面积为$2\sqrt{3}$，
故答案为：$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查由三视图求几何体的表面积，勾股定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．