Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}}，{-1＜x≤1}\\{f（x-2）+1}，{1＜x≤3}\end{array}\right.$，则函数g（x）=f（f（x））-2在区间（-1，3]上的零点个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用分类讨论法，求出函数f（x）取值范围，再求出f（f（x））的取值范围，即可得出函数g（x）的零点个数．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}}，{-1＜x≤1}\\{f（x-2）+1}，{1＜x≤3}\end{array}\right.$，
∴当-1＜x≤1时，$\frac{1}{2}$＜f（x）≤2，
当1＜x≤3时，-1＜x-2≤1，f（x）=f（x-2）+1=2^x-2+1∈（$\frac{3}{2}$，3]；
设h（x）=f（f（x）），
当-1＜x≤0时，h（x）=${2}^{{2}^{x}}$，$\sqrt{2}$＜h（x）≤2，
∴g（x）=h（x）-2有一个零点x=0；
当0＜x≤1时，h（x）=${2}^{{2}^{x}-2}+1$，$\frac{3}{2}$＜h（x）≤2，
∴g（x）=h（x）-2有一个零点x=1；
当1＜x≤3时，h（x）=${2}^{{2}^{x-2}+1-2}$+1
$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1＜h（x）≤3g（x）有一个零点；
综上，函数g（x）在区间（-1，3]上有3个零点．
故选：C．

点评 本题考查了分段函数与复合函数的零点问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是较难的题目．