题目内容
（理科）已知z=a+bi（a、b∈R，i是虚数单位），z1，z2∈C，定义：D（z）=||z||=|a|+|b|，D（z1，z2）=||z1-z2||．给出下列命题：
（1）对任意z∈C，都有D（z）＞0；
（2）若
是复数z的共轭复数，则D(
)=D(z)恒成立；
（3）若D（z1）=D（z2）（z1、z2∈C），则z1=z2；
（4）对任意z1、z2、z3∈C，结论D（z1，z3）≤D（z1，z2）+D（z2，z3）恒成立，
则其中真命题是（ ）
（1）对任意z∈C，都有D（z）＞0；
（2）若
. |
| z |
. |
| z |
（3）若D（z1）=D（z2）（z1、z2∈C），则z1=z2；
（4）对任意z1、z2、z3∈C，结论D（z1，z3）≤D（z1，z2）+D（z2，z3）恒成立，
则其中真命题是（ ）
| A、（1）（2）（3）（4） |
| B、（2）（3）（4） |
| C、（2）（4） |
| D、（2）（3） |
考点：复数代数形式的乘除运算
专题：简易逻辑
分析：由新定义逐一核对四个命题得答案．
解答：
解：对于（1），当z=0时，D（z）=|0|=|0|+|0|=0，命题（1）错误；
对于（2），设z=a+bi，则
=a-bi，则D（
）=|
|=|a|+|-b|=|a|+|b|=|z|=D（z），命题（2）正确；
对于（3），若D（z1）=D（z2）（z1、z2∈C），则z1=z2错误，如z1=1+i，z2=1-i，满足D（z1）=D（z2）（z1、z2∈C），但z1≠z2；
对于（4），设z1=a+bi，z2=c+di，z3=e+fi，
则D（z1，z2）=||z1-z2||=||（a-c）+（b-d）i||=|a-c|+|b-d|，
D（z2，z3）=||z2-z3||=||（c-e）+（d-f）i||=|c-e|+|d-f|，
D（z1，z3）=||z1-z3||=|（a-e）+（b-f）i|=|a-e|+|b-f|，
由|a-e|=|（a-c）+（c-e）|≤|a-c|+|c-e|，|b-f|=|（b-d）+（d-f）|≤|b-d|+|d-f|，
得D（z1，z3）≤D（z1，z2）+D（z2，z3）恒成立，（4）正确．
∴正确的命题是（2）（4）．
故选：C．
对于（2），设z=a+bi，则
. |
| z |
. |
| z |
. |
| z |
对于（3），若D（z1）=D（z2）（z1、z2∈C），则z1=z2错误，如z1=1+i，z2=1-i，满足D（z1）=D（z2）（z1、z2∈C），但z1≠z2；
对于（4），设z1=a+bi，z2=c+di，z3=e+fi，
则D（z1，z2）=||z1-z2||=||（a-c）+（b-d）i||=|a-c|+|b-d|，
D（z2，z3）=||z2-z3||=||（c-e）+（d-f）i||=|c-e|+|d-f|，
D（z1，z3）=||z1-z3||=|（a-e）+（b-f）i|=|a-e|+|b-f|，
由|a-e|=|（a-c）+（c-e）|≤|a-c|+|c-e|，|b-f|=|（b-d）+（d-f）|≤|b-d|+|d-f|，
得D（z1，z3）≤D（z1，z2）+D（z2，z3）恒成立，（4）正确．
∴正确的命题是（2）（4）．
故选：C．
点评：本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题．
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+(1+i)2，则|z|=（ ）
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