Question

已知f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2^x-1，函数g（x）=x²-2x+m．如果对于?x₁∈[-2，2]，?x₂∈[-2，2]，使得g（x₂）=f（x₁），则实数m的取值范围是

 

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Answer 1

考点：指数函数综合题,特称命题

专题：函数的性质及应用

分析：求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，
当x∈（0，2]时，f（x）=2^x-1∈（0，3]，
则当x∈[-2，2]时，f（x）∈[-3，3]，
若对于?x₁∈[-2，2]，?x₂∈[-2，2]，使得g（x₂）=f（x₁），
则等价为g（x）_max≥3且g（x）_min≤-3，
∵g（x）=x²-2x+m=（x-1）²+m-1，x∈[-2，2]，
∴g（x）_max=g（-2）=8+m，g（x）_min=g（1）=m-1，
则满足8+m≥3且m-1≤-3，
解得m≥-5且m≤-2，
故-5≤m≤-2，
故答案为：[-5，-2]

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．