Question

6．计算椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1所围成的平面图形的面积A．

Answer 1

分析 因为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1关于x轴和y轴都是对称的，所以所求之面积为s=4${∫}_{0}^{a}$$\frac{a}{b}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$dx，利用换元法，即可得出结论．

解答 解：因为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1关于x轴和y轴都是对称的，
所以所求之面积为s=4${∫}_{0}^{a}$$\frac{a}{b}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$dx
令x=asinθ．（0≤θ≤$\frac{π}{2}$）
则s=4${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\frac{b}{a}$•a•cosθ•a•cosθdθ=4ab${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（cosθ）2dθ=4ab${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\frac{1+cos2θ}{2}$dθ
=2ab[$\frac{π}{2}$+${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cos2θdθ]=2ab•$\frac{π}{2}$=πab．

点评 本题考查利用定积分求面积，考查换元方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．