Question

16．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，PC=$\sqrt{13}$，M在PC上，且PA∥面MBD．
（1）求证：M是PC的中点；
（2）在PA上是否存在点F，使二面角F-BD-M为直角？若存在，求出$\frac{AF}{AP}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）连AC交BD于E，连ME，推导出E是AC中点，PA∥ME，由此能证明M是PC的中点．
（2）取AD中点O，以O为原点，OA，OE，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出存在F，使二面角F-BD-M为直角，此时$\frac{AF}{AP}=\frac{3}{8}$．

解答 证明：（1）连AC交BD于E，连ME．
∵ABCD是矩形，∴E是AC中点．
又PA∥面MBD，且ME是面PAC与面MDB的交线，
∴PA∥ME，∴M是PC的中点．
解：（2）取AD中点O，由（1）知OA，OE，OP两两垂直．
以O为原点，OA，OE，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），
则各点坐标为$A（{1，0，0}），B（{1，3，0}），D（{-1，0，0}），C（{-1，3，0}），P（{0，0，\sqrt{3}}），M（{-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．
设存在F满足要求，且$\frac{AF}{AP}=λ$，
则由$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{AP}$得：$F（{1-λ，0，\sqrt{3}λ}）$，
面MBD的一个法向量为$\overrightarrow n=（{1，-\frac{2}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$，
面FBD的一个法向量为$\overrightarrow m=（{1，-\frac{2}{3}，\frac{λ-2}{{\sqrt{3}λ}}}）$，
由$\overrightarrow n•\overrightarrow m=0$，得$1+\frac{4}{9}+\frac{λ-2}{3λ}=0$，解得$λ=\frac{3}{8}$，
故存在F，使二面角F-BD-M为直角，此时$\frac{AF}{AP}=\frac{3}{8}$．

点评 本题考查点是线段的中点的证明，考查满足条件的点的位置的确定与线段比值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题．