Question

1．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每条棱长均相等，D为棱AB的中点，E为侧棱CC₁的中点．
（1）求证：OD∥平面A₁BE
（2）求证：AB₁⊥平面A₁BE．

Answer 1

分析 （1）设AB₁和A₁B的交点为O，连接EO，连接OD，易得四边形ECDO为平行四边形，即EO∥CD．得到OD∥平面A₁BE．
（2）证明EO⊥AB₁． AB₁⊥A₁B．即可得到AB₁⊥平面A₁BE

解答 解：（1）设AB₁和A₁B的交点为O，连接EO，连接OD，因为O为AB₁的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB₁，且$OD=\frac{1}{2}B{B_1}$又E是CC₁中点，则EC∥BB₁
且$EC=\frac{1}{2}B{B_1}$，所以EC∥OD且EC=OD．所以四边形ECDO为平行四边形，
所以EO∥CD． …（4分）
又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，则CD∥平面A₁BE…（7分）
（2）因为正三棱柱，所以BB₁⊥平面ABC．因为CD?平面ABC，
所以BB₁⊥CD．由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB．
所以CD⊥平面A₁ABB₁由（1）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A₁ABB₁所以EO⊥AB₁． …（11分）
因为正三棱柱各棱长相等，所以侧面是正方形，所以AB₁⊥A₁B．
又EO∩A₁B=O，EO?平面A₁EB，A₁B?平面A₁EB．所以AB₁⊥平面A₁BE． …（14分）

点评 本题考查了空间线面平行、线面垂直的判定，转化思想是解题的关键，属于中档题．