题目内容

若椭圆 
x2
5
+
y2
m
=1（0＜m＜5）和双曲线
x2
3
-
y2
n
=1 （n＞0）有相同的焦点，F1、F2，P是两条曲线的一个交点，且PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设|PF1|=x，|PF2|=y，由对称性不妨设|PF1|＞|PF2|，由椭圆定义和双曲线定义推导出x=
5
+
3
，y=
5
-
3
，由PF1⊥PF2，能求出△PF1F2的面积．
解答： 解：∵椭圆 
x2
5
+
y2
m
=1（0＜m＜5）和
双曲线
x2
3
-
y2
n
=1 （n＞0）有相同的焦点F1、F2，
P是两条曲线的一个交点，
设|PF1|=x，|PF2|=y，
由对称性不妨设|PF1|＞|PF2|
∴由椭圆定义得x+y=2
5
，由双曲线定义得x-y=2
3
，
解得x=
5
+
3
，y=
5
-
3
，
∵PF1⊥PF2，
∴△PF1F2的面积S △PF1F2=
1
2
xy=
1
2
×(
5
+
3
)(
5
-
3
)=1．
∴△PF1F2的面积是1．
点评：本题考查三角形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线、椭圆的简单性质．
练习册系列答案
相关题目
①若函数y=2x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}；
②若函数y=
1
x
的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是{y|y≤
1
2
}；
③若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域是{x|-2≤x≤2}；
④若函数y=log2x的值域是{y|y≤3}，则它的定义域是{x|x≤8}；
你认为其中不正确的命题的序号是
 
．
给出下列语句：
①二次函数是偶函数吗？
②2＞2；
③sin
π
2
=1；
④x2-4x+4=0．
其中是命题的有（　　）
A、1个B、2个C、3个D、4个
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），设左顶点为A，上顶点为B，且
OF
•
FB
=
AB
•
BF
，如图．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若F（1，0），过F的直线l交椭圆于M，N两点，试确定
FM
•
FN
的取值范围．
设椭圆方程
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），离心率为
2
2
，过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x0，y0）满足
OP
=
OM
+2
ON
，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-
1
2
，求证：x02+2y02为定值．
已知椭圆C的焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），点P（-1，
2
2
）在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若抛物线E：y2=2px（p＞0）与椭圆C相交于点M、N，当△OMN（O是坐标原点）的面积取得最大值时，求P的值．
（3）在（2）的条件下，过点F2作任意直线l与抛物线E相交于点A、B两点，则直线AF1与直线BF1的斜率之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
6
3
，右焦点F到直线
x
a
+
y
b
=0的距离为1．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）已知点M，N为椭圆的长轴的两个端点，作不平行于坐标轴的割线AB，若满足∠AFM=∠BFN，求证：割线AB恒经过一定点．
设直线l1：y=2x与直线l2：x+y=6交于P点．
（1）当直线m过P点且与直线l0：x-2y=0垂直时，求直线m的方程；
（2）当直线m过P点且坐标原点O到直线m的距离为2时，求直线m的方程．
如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且AB=
1
3
AC，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°
（1）求AF的长；
（2）求证：AD=3ED．

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