Question

设函数f（x）=

x2

2

-2ax+3lnx．（0＜a＜3）
（1）当a=2时，求函数f（x）=

x2

2

-2ax+3lnx的单调区间．
（2）当x∈[1，+∞）时，若f（x）≥-5xlnx+3lnx-

3

2

恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用导数的正负，可得函数f（x）=

x2

2

-2ax+3lnx的单调区间．
（2）分离参数，可得

x

4

+

5lnx

2

+

3

4x

≥a，构造函数g（x）=

x

4

+

5lnx

2

+

3

4x

，证明g（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，即可得出结论．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=2时，f′（x）=

(x-3)(x-1)

x

，
当x∈（0，1]时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
当x∈（1，3]时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
当x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴函数f（x）单调增区间为（0，1]，（3，+∞），单调减区间为（1，3]；
（2）∵f（x）≥-5xlnx+3lnx-

3

2

，
∴

x2

2

-2ax+5xlnx+

3

2

≥0，
∵x∈[1，+∞），
∴

x2

2

+5xlnx+

3

2

≥2ax，
∴

x

4

+

5lnx

2

+

3

4x

≥a，
令g（x）=

x

4

+

5lnx

2

+

3

4x

，则g′（x）=

x2+10x-3

4x2

，
∵x∈[1，+∞），
∴x²+10x-3＞0，
∴x∈[1，+∞）时，g′（x）＞0，
∴g（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，
∴g（x）≥g（1）

1

4

+

3

4

=1≥a，
∴0＜a≤1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数的单调性是关键．