Question

设M、N为抛物线C：y=x²上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l₁、l₂，与x轴分别交于A、B两点，且l₁与l₂相交于点P，若AB=1，求点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：导数的综合应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（x，y），M（x₁，x₁²），N（x₂，x₂²），由导数求得两直线的斜率，用点斜式求得 l₁ 的方程，同理求得l₂ 的方程，由此建立x，y 的方程．

解答： 解：设P（x，y），M（x₁，x₁²），N（x₂，x₂²），
由y=x²，得y′=2x，∴y′|x=x1=2x₁，
∴l₁ 的方程为 y-x₁²=2x₁（x-x₁），即y=2x₁x-x₁²   ①，
同理，l₂ 的方程为 y=2x₂x-x₂²   ②，
令y=0，可求出 A（

x1

2

，0），B（

x2

2

，0）．
∵|AB|=1，∴|x₁-x₂|=2，即|x₁+x₂|²-4x₁x₂ =4，
由①，②，得x=

x1+x2

2

，y=x₁x₂，
故点P（

x1+x2

2

，x₁x₂）．
∴点P的轨迹方程为：y=x²-1，

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，体现了整体运算思想方法，是中档题．