Question

函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出φ及图中x₀的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

1

2

，

1

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：余弦函数的图象,余弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由图观察可知，函数的图象过点（0，

1

2

），有

1

2

=cosφ可解得φ的值是

π

3

．由图观察可知，函数的图象过点（x₀，

1

2

），有π×x₀+

π

3

=2π-

π

3

，可解得x₀的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f(x)=cos(πx+

π

3

)．根据余弦函数的单调性即可求f（x）在区间[-

1

2

，

1

3

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵由图观察可知，函数的图象过点（0，

1

2

），
∴

1

2

=cosφ，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴可解得φ的值是

π

3

．
∵由图观察可知，函数的图象过点（x₀，

1

2

），
∴

1

2

=cos（π×x₀+

π

3

）
∴π×x₀+

π

3

=2π-

π

3

∴可解得x₀的值是

4

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f(x)=cos(πx+

π

3

)．
因为x∈[-

1

2

，

1

3

]，
所以-

π

6

≤πx+

π

3

≤

2π

3

．
所以 当πx+

π

3

=0，即x=-

1

3

时f（x）取得最大值1； 
当πx+

π

3

=

2π

3

，即x=

1

3

时f（x）取得最小值-

1

2

．

点评：本题主要考查了三角函数解析式的求法，余弦函数的定义域和值域，余弦函数的图象和性质，属于基础题．