Question

9．设函数$f（x）=ax-\frac{a}{x}-2lnx$．
（1）若f'（2）=0，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在定义域内是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（2）=0，求出a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为a≥$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$对x＞0恒成立，根据不等式的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）因为f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（2）=0，且f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$，
所以a+$\frac{a}{4}$-1=0，所以a=$\frac{4}{5}$，
所以f′（x）=$\frac{4}{5}$+$\frac{4}{{5x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{2}{{5x}^{2}}$（2x²-5x+2），
由f′（x）＞0结合x＞0，得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞2；
由f′（x）＜0及x＞0，得$\frac{1}{2}$＜x＜2．
所以f（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$）和（2，+∞）内是增函数，
在区间（$\frac{1}{2}$，2）内是减函数．
（2）若f（x）在定义域上是增函数，
则f′（x）≥0对x＞0恒成立，
因为f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{{ax}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，
所以需x＞0时ax²-2x+a≥0恒成立．
化为a≥$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$对x＞0恒成立，
因为$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤1，
当且仅当x=1时取等号，
所以a≥1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．