Question

19．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线与双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的两条渐近线分别交于A、B两点，若△AOB（O为坐标原点）的面积为4$\sqrt{2}$，且双曲线E的离心率为$\sqrt{3}$，则抛物线C的准线方程为（　　）

• A． $x=-\frac{1}{2}$
• B． x=-1
• C． $x=-\sqrt{3}$
• D． x=-2

Answer 1

分析 由离心率公式和a，b，c的关系得$\frac{b}{a}$，即可得到双曲线的渐近线方程；写出抛物线的准线方程，代入渐近线方程，可得A，B的坐标，得到AB的距离，由三角形的面积公式，计算即可得到p的值．

解答 解：由双曲线的离心率为$\sqrt{3}$，可得$\frac{c}{a}=\sqrt{3}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}=3$，即$\frac{b}{a}=\sqrt{2}$，
∴双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的两条渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x=$±\sqrt{2}x$，
∵抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{p}{2}}\\{y=\sqrt{2}x}\end{array}\right.$得A（-$\frac{p}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}p$），同理得B（-$\frac{p}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}p$）
△AOB（O为坐标原点）的面积为$\frac{1}{2}×\frac{p}{2}×\sqrt{2}p$=4$\sqrt{2}$，解得p=4
∴准线方程为x=-2．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查抛物线的方程和性质，以及三角形的面积公式的计算，属于中档题