Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，且（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=35．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角；
（2）设向量$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$，当λ∈[0，1]时，求|$\overrightarrow{c}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=35，可得解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-6，设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则cos θ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{1}{2}$，又θ∈[0°，180°]，则θ=120°，于是可得向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°．
（2）因为$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$，故|$\overrightarrow{c}$|²=|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$|²=9（λ-$\frac{2}{3}$）²+12，则|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{9（λ-\frac{2}{3}）}^{2}+12}$，而λ∈[0，1]，则当λ=$\frac{2}{3}$时，|$\overrightarrow{c}$|取最小值2$\sqrt{3}$；当λ=0时，|$\overrightarrow{c}$|取最大值4，从而可得|$\overrightarrow{c}$|的取值范围．

解答 解：（1）因为（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=35，
则2|$\overrightarrow{a}$|²-5$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-3|$\overrightarrow{b}$|²=35．（2分）
因为|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，则32-5$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-27=35，解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-6．（4分）
设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则cos θ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{1}{2}$．（5分）
又θ∈[0°，180°]，则θ=120°，所以向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°．（6分）
（2）因为|$\overrightarrow{c}$|²=|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$|²=$\overrightarrow{a}$²+2λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+λ²b²=|a|²+2λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+λ²|$\overrightarrow{b}$|²
=16-12λ+9λ²=9（λ-$\frac{2}{3}$）²+12，则|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{9（λ-\frac{2}{3}）}^{2}+12}$．（9分）
因为λ∈[0，1]，则当λ=$\frac{2}{3}$时，|$\overrightarrow{c}$|取最小值2$\sqrt{3}$；当λ=0时，|$\overrightarrow{c}$|取最大值4，所以|$\overrightarrow{c}$|的取值范围是[2$\sqrt{3}$，4]．（12分）

点评 本题考查平面向量的数量积的运算，要求向量的模，先求其模的平方是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．