Question

5．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≤a}\\{{x}^{2}，x＞a}\end{array}\right.$．若存在实数b，使得函数y=f（x）-bx恰有2个零点，则实数a的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）．

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则只需让g（x）=b存在唯一一个非零解即可．讨论a的范围，作出g（x）的图象，根据图象判断即可得出结论．

解答 解：显然x=0必为f（x）-bx的一个零点，
当x≠0时，令f（x）-bx=0得b=$\frac{f（x）}{x}$，
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≤a}\\{x，x＞a}\end{array}\right.$，则b=g（x）存在唯一一个非零解．
当a＜0时，作出g（x）的函数图象，如图所示：

显然当a＜b＜a²且b≠0时，g（x）=b总存在唯一一个非零解，符合题意；
当a＞0时，作出g（x）的函数图象如图所示：

若要使b=g（x）存在唯一一个非零解，则a＞a²，解得0＜a＜1．
同理，当a=0时，显然g（x）=b无非零解，
综上，a的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）．
故答案为：（-∞，0）∪（0，1）．

点评 本题考查了函数零点与哈数图象的关系，属于中档题．