Question

10．设圆C满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为d．当d最小时，圆C的面积为2π．

Answer 1

分析 设圆心P（a，b），根据所给条件得出P的轨迹方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心P到直线l的距离d，利用基本不等式得出d取得最小值的条件，求出此时圆的半径即可得出答案．

解答 解：设圆心P（a，b），半径为r，则|b|=$\frac{r}{\sqrt{2}}$，即2b²=r²，
又|a|²+1=r²，所以a²+1=r²，
两式相减得：2b²=a²+1，
点P到直线x-2y=0的距离d=$\frac{|a-2b|}{\sqrt{5}}$，
∴5d²=a²-4ab+4b²≥a²+4b²-2（a²+b²）=2b²-a²=1，
当且仅当a=b时取等号，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{a=b}\\{2{b}^{2}={a}^{2}+1}\end{array}\right.$得a=b=1或a=b=-1，
∴当d取得最小值时，圆的半径r=$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\sqrt{2}$，
∴圆的面积S=2π．
故答案为：2π．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．