Question

10．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}cosθ\\ y=3+\sqrt{5}sinθ\end{array}\right.$（其中θ为参数）．
（Ⅰ） 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；
（ II）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（其中t为参数），直线l与曲线C分别交于A，B两点，且$|AB|=2\sqrt{3}$，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先把曲线C的参数方程化为直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．
（Ⅱ）求出直线l的直角坐标方程为y=tanα•x，圆心C（0，3）到直线的距离d=$\frac{|3|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$，再由$|AB|=2\sqrt{3}$，利用勾股定理求出tan²α=$\frac{7}{2}$，由此能求出直线l的斜率．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}cosθ\\ y=3+\sqrt{5}sinθ\end{array}\right.$（其中θ为参数），
∴曲线C的直角坐标方程为x²+（y-3）²=5，即x²+y²-6y+4=0，
∴曲线C的极坐标方程为ρ²-6ρsinθ+4=0．
（Ⅱ）∵直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（其中t为参数），
∴直线l的直角坐标方程为y=tanα•x，
圆心C（0，3）到直线的距离d=$\frac{|3|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$，
∵直线l与曲线C分别交于A，B两点，且$|AB|=2\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}=\frac{|AB|}{2}$，
即$\sqrt{5-\frac{9}{1+ta{n}^{2}α}}$=$\sqrt{3}$，解得tan²α=$\frac{7}{2}$，
∴tanα=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
∴直线l的斜率为$±\frac{\sqrt{14}}{2}$．

点评 本题考查圆、直线方程、极坐标方程、直角坐标方程、参数方程、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．