Question

3．已知函数f（x）=lnx-x²-x．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）若函数g（x）=af（x）+ax²-3（a∈R）的图象在点（2，g（2））处的切线与直线x-y=3平行，对于任意的t∈[1，2]，函数$h（x）={x^3}+{x^2}[{g^'}（x）+\frac{m}{2}]$在区间（t，4）上总不是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（2）先求出a的值，从而求出函数h（x）的表达式，求出h（x）的导数，结合函数的单调性，得到不等式组，从而求出m的范围．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x-1=$\frac{1-{2x}^{2}-x}{x}$，
令f′（x）＞0，即（2x-1）（x+1）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，即（2x-1）（x+1）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递减，
故f（x）的最大值是f（$\frac{1}{2}$）=-ln2-$\frac{3}{4}$；
（2）g（x）=af（x）+ax²-3=alnx-ax-3，
g′（x）=$\frac{a}{x}$-a，g′（2）=$\frac{a}{2}$=1?a=-2，
∴g（x）=-2lnx+2x-3，g′（x）=2-$\frac{2}{x}$，
故h（x）=x³+（2+$\frac{m}{2}$）x²-2x，
∴h′（x）=3x²+（4+m）x-2，
∵函数h（x）在区间（t，4）上总不是单调函数，
∴函数h（x）在区间（t，4）上总存在零点，
又∵函数h′（x）是开口向上的二次函数，且h′（0）=-2＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h′（t）＜0}\\{h′（4）＜0}\end{array}\right.$，
由h′（t）＜0?m＜$\frac{2}{t}$-3t-4，
令H（t）=$\frac{2}{t}$-3t-4，则H′（t）=-$\frac{2}{{t}^{2}}$-3＜0，
所以H（t）在上[1，2]单调递减，所以m＜H（t）_min=H（2）=-9；
由h′（4）=48+4（4+m）-2＞0，解得：m＞-$\frac{31}{2}$；
综上得：-$\frac{31}{2}$＜m＜-9，
所以当m在（-$\frac{31}{2}$，-9）内取值时，对于任意的t∈[1，2]，
函数h（x）在区间（t，4）上总不是单调函数．

点评 本题考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查导数的应用，考查分类讨论思想，本题是一道难题．