Question

7．已知函数f（x）=blnx+a（a＞0，b＞0）在x=1处的切线与圆（x-2）²+y²=4相交于A、B两点，并且弦长|AB|=
2$\sqrt{3}$，则$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$的最小值为5．

Answer 1

分析 利用导数求出f（x）在x=1处的切线方程，
根据圆心到直线的距离d、弦长以及半径的关系，得出a、b的关系，
再代入$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$中，利用基本不等式求出它的最小值．

解答 解：f（x）=blnx+a（a＞0，b＞0），
∴f′（x）=$\frac{b}{x}$，
∴切线l的斜率为k=f′（1）=b，且f（1）=a；
∴f（x）在x=1处的切线l的方程为y-a=b（x-1），
即bx-y+a-b=0；
又切线l与圆（x-2）²+y²=4交于A、B两点，且弦长|AB|=2$\sqrt{3}$，
∴圆心（2，0）到切线l的距离为d=$\frac{|2b+a-b|}{\sqrt{{b}^{2}+1}}$，
由d²+${（\frac{|AB|}{2}）}^{2}$=r²，
∴$\frac{{（a+b）}^{2}}{{b}^{2}+1}$+${（\sqrt{3}）}^{2}$=2²，
化简得2ab+a²=1，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{2ab{+a}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{2ab{+a}^{2}}{{b}^{2}}$-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$
=$\frac{2b}{a}$+1+$\frac{2a}{b}$
=2（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+1≥2•2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$+1=4+1=5，
当且仅当a=b时取“=”；
∴所求的最小值为5．
故答案为：5．

点评 本题考查了利用导数求出函数的切线方程，以及点到直线的距离、弦长以及半径的关系，和用基本不等式求出最值的应用问题，是综合题．