Question

13．设函数f（x）=x-e^ax（a＞0）．
（I）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在实数x₁，x₂（x₁＜x₂），使得f（x₁）=f（x₂）=0，求a的取值范围，并证明：$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜ae．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）由f（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$＞0，解得a＜$\frac{1}{e}$，得到x₁＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$＜x₂，求出x₁，x₂，作商即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x-e^ax（a＞0），则f′（x）=1-ae^ax，
令f′（x）=0，则x=$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，
x，f′（x），f（x）的变化如下：

x	（-∞，$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	递增	极大值	递减

故函数f（x）的增区间为（-∞，$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$），减区间为（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，+∞）；
（Ⅱ） 当x＜0时，f（x）=x-e^ax＜0（a＞0），当x→+∞时，f（x）＜0，
若函数f（x）有两个零点，只需f（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$＞0，即a＜$\frac{1}{e}$，
而此时，f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$-e＞0，由此可得x₁＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$＜x₂，
故x₂-x₁＞$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$，即x₁-x₂＜$\frac{1}{a}$（1-ln$\frac{1}{a}$），
又∵f（x₁）=x₁-${e}^{{ax}_{1}}$=0，f（x₂）=x₂-${e}^{{ax}_{2}}$=0，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=${e}^{{ax}_{1}-{ax}_{2}}$＜${e}^{a[\frac{1}{a}（1-ln\frac{1}{a}）]}$=e^lnae=ae．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．