Question

3．已知函数f（x）=e^x+2ax，
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在在区间[1，+∞）上的最小值为0，求a的值．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）分类讨论，利用函数f（x）在在区间[1，+∞）上的最小值为0，得方程即可求a的值．

解答 解：（Ⅰ）当a≥0时，函数f'（x）=e^x+2a＞0，f（x）在R上单调递增；
当a＜0时，f'（x）=e^x+2a，
令e^x+2a=0，得x=ln（-2a），所以当x∈（-∞，ln（-2a））时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（ln（-2a），+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
（ II）由（ I）可知，当a≥0时，函数f（x）=e^x+2a＞0，不符合题意，
当a＜0时，f'（x）=e^x+2a，因为，当x∈（-∞，ln（-2a））时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
①当x∈（ln（-2a），+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
当ln（-2a）≤1，即$-\frac{e}{2}≤a＜0$时，f（x）最小值为f（1）=2a+e，
解2a+e=0，得$a=-\frac{e}{2}$，
②当ln（-2a）＞1，即$a＜-\frac{e}{2}$时，f（x）最小值为f（ln（-2a））=-2a+2aln（-2a）．
解-2a+2aln（-2a）=0，得$a=-\frac{e}{2}$，不符合题意，综上，$a=-\frac{e}{2}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．