Question

已知在△ABC中，三条边a，b、c所对的角分别为A、B，C，向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（cosB，sinB），且满足

m

•

n

=sin2C．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且

AC

•（

AB

-

AC

）=-8，求边c的值并求△ABC外接圆的面积．

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合,正弦定理的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（cosB，sinB），且满足

m

•

n

=sin2C，可得sin（A+B）=2sinCcosC，即可求出角C的大小；
（2）sinA，sinC，sinB成等比数列，可得c²=ab，利用

AC

•（

AB

-

AC

）=-8，可得ab=16，即可求出c=4，利用正弦定理可得外接圆的半径，即可求△ABC外接圆的面积．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（cosB，sinB），且满足

m

•

n

=sin2C，
∴sin（A+B）=2sinCcosC，
∴cosC=

1

2

，
∴C=

π

3

；
（2）∵sinA，sinC，sinB成等比数列
∴sin²C=sinAsinB，
∴c²=ab，
∵

AC

•（

AB

-

AC

）=-8，
∴

AC

•

BC

=-8，
∴ab=16，
∴c=4，
设外接圆的半径为R，由正弦定理可知：2R=

c

sinC

=

8

3

∴R=

4

3

，∴S=

16π

3

．

点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦定理与余弦定理的综合应用，属于中档题．