Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA=AD=2，E、F分别为棱AD、PC的中点.

       (Ⅰ)求异面直线EF和PB所成角的大小；

(Ⅱ)求证：平面PCE⊥平面PBC；

(Ⅲ)求二面角E-PC-D的大小.

Answer 1

解：以直线AB为x轴，直线AD为z轴建立间直角坐标系，如图，则

   A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).

   (Ⅰ)∵E为AD中点，∴E(0，1，0).又F为PC中点，

∴F(1，1，1).∴又

∴cos<>=90°,∴异面直线EF和PB所成角

的大小为90°.            ……………4分

       (Ⅱ)由(Ⅰ)知EF⊥PB，又∵

∴∴EF⊥BC.∴EF⊥平面PBC，又EF平面PCE，∴平面PCE⊥平面PBC. …8分    (Ⅲ)过点D作DH⊥PC于H. 在Rt△PDC中，PD=2DC=2，PC=2

 则CH=：HC=2：1， 又P(0，0，2)，C(2，2，0). ∵H().

∴又，∴cos<>=

∴<>=30°.     ………12分∴二面角E-PC-D的大小为30°. ………13分