Question

已知直线l的方程为kx-y-k+3=0，若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，设△ABO的面积为S，当S取得最小值时，求此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：由直线l的方程，求出l与x轴、y轴的正半轴的交点A、B的坐标，计算△ABO的面积S取得最小值时k的值，从而得出直线l的方程．

解答： 解：∵直线l的方程为kx-y-k+3=0，
且l与x轴、y轴的正半轴分别交于A（

k-3

k

，0）、B（0，-k+3）两点，
∴

-k+3＞0 k-3 k ＞0

，即k＜0；
∴△ABO的面积为S=

1

2

•

k-3

k

•（-k+3）
=

1

2

•

-k2+6k-9

k

=

1

2

（-k-

9

k

+6）≥

1

2

（2

-k•(- 9 k )

+6）=6，
当且仅当k=-3时S取得最小值；
此时直线l的方程为-3x-y+3+3=0，
即3x+y-6=0．

点评：本题考查了直线方程的应用问题，解题时应根据直线方程求出交点坐标，得出三角形的面积表达式，求出最小值时k的值，就可以写出所求的直线方程．