题目内容
函数f（x）=
x3-x2-3x-1的图象与x轴交点个数为 个．
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考点：利用导数研究函数的极值,根的存在性及根的个数判断
专题：导数的综合应用
分析：利用导数求函数的极大值和极小值，利用极值与x轴的关系进行判断即可
解答：
解：函数导数为f′（x）=x2-2x-3=（x+1）（x-3），
由f′（x）=（x+1）（x-3）＞0，得x＞3或x＜-1，此时函数单调递增．
由f′（x）=（x+1）（x-3）＜0，得-1＜x＜3，此时函数单调递减．
所以当x=-1时，函数取得极大值f（-1）=
＞0．
当x=3，函数取得极小值f（3）=-10＜0，
所以函数f（x）=
x3-x2-3x-1的图象与x轴的交点个数是3个．
故答案为：3
由f′（x）=（x+1）（x-3）＞0，得x＞3或x＜-1，此时函数单调递增．
由f′（x）=（x+1）（x-3）＜0，得-1＜x＜3，此时函数单调递减．
所以当x=-1时，函数取得极大值f（-1）=
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当x=3，函数取得极小值f（3）=-10＜0，
所以函数f（x）=
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故答案为：3
点评：本题主要考查三次函数的图象和性质，利用导数研究函数的极大值和极小值是解决本题的关键．
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