Question

对于n∈N^*，把n表示为n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，当i=0时，a_i=1；当1≤i≤k时，a_i为0或1．记I（n）为上述表示中a_i为0的个数（例如：1=1×2⁰，4=1×2²+0×2¹+0×2⁰，故I（1）=0，I（4）=2，若r，m∈N^*，a＞0，则：
（1）I（2^r）=

 

；
（2）

2m-1

n=1

a^I（n）=

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：规律型

分析：（1）根据题意，分析可得，将n 表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，实际是将十进制的数转化为二进制的数，易得2^r=1×2^r+0×2^r-1+…+0×2¹+0×2⁰，由I（n）的意义，可得答案；
（2）分别令m=1，2，3，4，…，分析

2m-1

n=1

a^I（n）的值随m变化的规律，归纳推理可得答案．

解答： 解：（1）根据题意，2^r=1×2^r+0×2^r-1+…+0×2¹+0×2⁰=r，
（2）当m=1时，

2m-1

n=1

a^I（n）=

1

n=1

a^I（n）=a⁰=1=

(a+1)1-1

a

；
当m=1时，

2m-1

n=1

a^I（n）=

3

n=1

a^I（n）=a⁰+a¹+a⁰=a+2=

(a+1)2-1

a

；
当m=1时，

2m-1

n=1

a^I（n）=

7

n=1

a^I（n）=a⁰+a¹+a⁰+a²+a¹+a¹+a⁰=a²+3a+3=

(a+1)3-1

a

；
当m=1时，

2m-1

n=1

a^I（n）=

15

n=1

a^I（n）=a⁰+a¹+a⁰+a²+a¹+a¹+a⁰+a³+a²+a²+a²+a¹+a¹+a¹+a⁰=a³+4a²+6a+4=

(a+1)4-1

a

；
…
归纳推理得：

2m-1

n=1

a^I（n）=

(a+1)m-1

a

，
故答案为：r，

(a+1)m-1

a

点评：解本题关键在于分析题意，透彻理解I（n）的含义及

2m-1

n=1

a^I（n）的运算，注意转化思想，结合二项式定理与等比数列的前n项和公式进行计算．