题目内容


已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F、G分别是AB、BC、B1C1的中点．下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；

②P在直线FG上运动时，AP⊥DE；

③Q在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1QC的体积不变；

④M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段．


②③④

[解析]　

三棱锥A1－ABC的四个面都是Rt△，故①错；P在FG上运动时，PF⊥平面ABCD，

∴PF⊥DE，又在正方体ABCD中，E、F为AB、BC中点，∴AF⊥DE，∴DE⊥平面PAF，∴DE⊥PA，故②真；VA－D1QC＝VQ－AD1C，∵BC1∥AD1，∴BC1∥平面AD1C，∴无论点Q在BC1上怎样运动，Q到平面AD1C距离都相等，故③真；到点D和C1距离相等的点在经过线段C1D的中点与DC1垂直的平面α上，故点M为平面α与正方体的面A1B1C1D1相交线段上的点，这条线段即A1D1.


练习册系列答案
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如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．

(1)求证：BC⊥平面ACD；

(2)求几何体D－ABC的体积．

设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题错误的是(　　)

A．若a⊥α，b∥α，则a⊥b

B．若a⊥α，b∥a，b⊂β，则α⊥β

C．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b

D．若a∥α，a∥β，则α∥β

下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号)．

设a、b为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中真命题是(　　)

A．若a、b与α所成角相等，则a∥b

B．若a∥α，b∥β，α⊥β，则a⊥b

C．若a⊂α，b⊂β，a⊥b，则α⊥β

D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b

如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB//CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.

(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；

(2)求点B1 到平面EA1C1 的距离．

定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是(　　)

A．一条线段，但要去掉两个点

B．一个圆，但要去掉两个点

C．一个椭圆，但要去掉两个点

D．半圆，但要去掉两个点

一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．

设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)

A．若l⊥m，mα，则l⊥α 

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，mα，则l∥m 

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

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