Question

2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm），则该阳马的外接球的表面积为（　　）

• A． 100π cm²
• B． $\frac{500π}{3}$ cm²
• C． 400π cm²
• D． $\frac{4000π}{3}$ cm²

Answer 1

分析 如图所示的四棱锥P-ABCD，其中PA⊥ABCD，ABCD为正方形．补成以AB，AD，AP为相邻的三条棱的长方体，可得该阳马的外接球的直径为长方体的对角线．

解答 解：如图所示的四棱锥P-ABCD，其中PA⊥ABCD，ABCD为正方形．
补成以AB，AD，AP为相邻的三条棱的长方体，可得该阳马的外接球的直径为长方体的对角线．
则该阳马的外接球的直径=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}+（2\sqrt{7}）^{2}}$=10．
∴该阳马的外接球的表面积=$4π×（\frac{10}{2}）^{2}$=100πcm²．
故选：A．

点评 本题考查了正方体长方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．